复变量函数的极限与连续性

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复变量函数的极限与连续性

定义

• 复数中极限定义与实数有区别, 因为复数是在二维平面内, 所以其极限可以从任意方向逼近. 可以类比 \(\mathbb{R}^2\) 中的极限, 但并不完全一样.

  假定 \(z_0\in\mathbb{C}\) 是给定的一点, 而 \(\omega=f(z)\) 在 \(z_0\) 的一个去心邻域 \(\{z:0<|z-z_0|<r\}\) 内有定义. 如果存在一个常数 \(l\), 对于任意给定的 \(\varepsilon>0\), 总存在一个实数 \(\delta>0\ (\delta<\varepsilon)\) 使得 $$ |f(z)-l|<\varepsilon $$
  记作 \(\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=l\).

复数极限仍满足四则运算.

定理

• 设 \(f(z)=u(x,y)\text{i} v(x,y)\), \(A=u_0+\text{i} v_0,\ z_0=x_0+\text{i} y_0\), 那么 \(\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A\) 的充要条件是 $$ \lim\limits_{\substack{x\to x_0\y\to y_0}}u(x,y)=u_0\wedge \lim\limits_{\substack{x\to x_0\y\to y_0}}v(x,y)=v_0 $$ .